სამგანზომილებიანი ფორმები: პოლიედრონები, მრუდი მყარი მასალები და ზედაპირის ფართობი

Იხილეთ ასევე: მრავალკუთხედების თვისებები

ეს გვერდი იკვლევს სამგანზომილებიანი ან 'მყარი' ფორმის თვისებებს.

ორგანზომილებიანი ფორმის სიგრძე და სიგანეა. სამგანზომილებიანი მყარი ფორმა ასევე აქვს სიღრმე. სამგანზომილებიანი ფორმები, თავიანთი ბუნებით, აქვთ შიგნითა და გარედან, გამოყოფილია ზედაპირით. ყველა ფიზიკური ნივთი, რასაც შეგიძლია შეეხო, არის სამგანზომილებიანი.

ეს გვერდი მოიცავს როგორც სწორმხრივ მყარ ნივთიერებებს, რომლებსაც პოლიედრონები ეწოდება და რომლებიც მრავალკუთხედებს ემყარება, ასევე მყარი მრუდებით, როგორიცაა გლობუსები, ცილინდრები და გირჩები.




პოლიედრონები

პოლიედრები (ან პოლიედრები) არის ცალმხრივი მყარი ფორმები. მრავალწახნაგები ემყარება მრავალკუთხედებს, ორგანზომილებიანი სიბრტყის ფორმებს სწორი ხაზებით.

იხილეთ ჩვენი გვერდი მრავალკუთხედების თვისებები პოლიგონებთან მუშაობის შესახებ მეტი.

პოლიედრონები განისაზღვრება, როგორც შემდეგი:

  • სწორი კიდეები .
  • ბრტყელი მხარეები გამოიძახეს სახეები .
  • კუთხეები, ე.წ. ვერტიკები .

პოლიედრონები ასევე ხშირად განისაზღვრება მათ კიდეების, სახეებისა და ვერტიკების რაოდენობით, ასევე იმის მიხედვით, რომ მათი სახეები ყველა ფორმისა და ზომისაა. მრავალკუთხედების მსგავსად, მრავალკუთხედები შეიძლება იყოს რეგულარული (რეგულარული მრავალკუთხედების საფუძველზე) ან არარეგულარული (არარეგულარული მრავალკუთხედების საფუძველზე). პოლიედრონები შეიძლება ასევე იყოს ჩაზნექილი ან ამოზნექილი.



ერთ-ერთი ყველაზე ძირითადი და ნაცნობი პოლიედრონია კუბი. კუბი არის ჩვეულებრივი მრავალწახნაგოვანი, რომელსაც აქვს ექვსი კვადრატული სახე, 12 კიდე და რვა წვერი.


ძირითადი პოლიედრონების თვისებები. რეგულარული პოლიედრონები, პრიზმები და პირამიდები.

რეგულარული პოლიედრონები (პლატონის მყარი მასალები)

ხუთი რეგულარული მყარი მრავალკუთხედების სპეციალური კლასია, რომელთა ყველა სახე იდენტურია, თითოეული სახე არის ჩვეულებრივი მრავალკუთხედი. პლატონური ნივთიერებებია:

  • ტეტრაედრი ოთხი ტოლგვერდა სამკუთხედის სახებით.
  • კუბი ექვსი კვადრატული სახით.
  • ოქტაედრი რვა ტოლგვერდა სამკუთხედის სახებით.
  • Dodecahedron თორმეტი პენტაგონის სახეებით.
  • Icosahedron ოცი ტოლგვერდა სამკუთხედის სახებით.
იხილეთ ზემოთ მოცემული დიაგრამა თითოეული რეგულარული პოლიედრონის ილუსტრაციისთვის.

რა არის პრიზმა?

რომ პრიზმა არის ნებისმიერი მრავალწახნაგოვანი, რომელსაც აქვს ორი შესატყვისი ბოლოები და ბრტყელი მხარეები . თუ პრიზმას სადმე მოაჭრით მისი სიგრძის გასწვრივ, დასასრულის პარალელურად, მისი განივი მონაკვეთი იგივეა - თქვენ დასრულდება ორი პრიზმით. პრიზმის მხარეებია პარალელოგრამები - ოთხმხრივი ფორმები ორი წყვილი გვერდით თანაბარი სიგრძით.



ანტიპრიზმები რეგულარული პრიზმების მსგავსია, მათი ბოლოები ემთხვევა. ამასთან ანტიპრიზმის გვერდები სამკუთხედებისგან შედგება და არა პარალელოგრამებისაგან. ანტიპრიზმები შეიძლება გახდეს ძალიან რთული.

რა არის პირამიდა?

პირამიდა არის მრავალწახნაგოვანი ა პოლიგონის ფუძე რომ უკავშირდება ან მწვერვალი (ზედა წერტილი) სწორი მხარეებით.

მიუხედავად იმისა, რომ ჩვენ გვინდა ვიფიქროთ პირამიდებზე კვადრატული ფუძით, ისევე როგორც ძველი ეგვიპტელები ააშენეს, მათ სინამდვილეში შეიძლება ჰქონდეთ მრავალკუთხედის ბაზა, რეგულარული ან არარეგულარული. გარდა ამისა, პირამიდას შეიძლება ჰქონდეს მწვერვალი მისი ფუძის პირდაპირ ცენტრში, მარჯვენა პირამიდა , ან შეიძლება ჰქონდეს მწვერვალი ცენტრში, როდესაც ის არის Oblique პირამიდა .

Archimedean Solid - დაჭრილი კუბი

უფრო რთული პოლიედრონები



პოლიჰედრების კიდევ მრავალი ტიპი არსებობს: სიმეტრიული და ასიმეტრიული, ჩაზნექილი და ამოზნექილი.

Archimedean solids, მაგალითად, შედგება მინიმუმ ორი განსხვავებული რეგულარული მრავალკუთხედისგან.

შეკვეცილი კუბი (როგორც ილუსტრაციაა) არის არქიმედეული მყარი, 14 სახით. 6 სახე არის რეგულარული რვაკუთხედი და დანარჩენი 8 არის რეგულარული (ტოლგვერდა) სამკუთხედი. ფორმას აქვს 36 კიდე და 24 წვერი (კუთხე).


სამგანზომილებიანი ფორმები მოსახვევებით

მყარი ფორმები, რომლებიც მოიცავს მრუდე ან მრგვალ პირას, არ არის პოლიედრონები. პოლიედრონებს მხოლოდ სწორი მხარეები შეიძლება ჰქონდეთ.

თქვენს ირგვლივ მყოფი მრავალი ობიექტი მინიმუმ მოსახვევებში შევა. გეომეტრიაში ყველაზე გავრცელებული მრუდი მყარია ცილინდრები, გირჩები, სფეროები და ტორი (მრავლობითი რიცხვი ტორუსისთვის).

საერთო სამგანზომილებიანი ფორმები მოსახვევებით:
ცილინდრი კონუსი
ცილინდრი კონუსი
ცილინდრს აქვს ერთი და იგივე გადაკვეთა ერთი ბოლოდან მეორეზე. ცილინდრებს ორი წრის ან ოვალური იდენტური ბოლო აქვთ. მიუხედავად იმისა, რომ მსგავსია, ცილინდრები არ არის პრიზმები, რადგან პრიზმას აქვს (განმარტებით) პარალელოგრამი, ბრტყელი გვერდები. კონუსს აქვს წრიული ან ოვალური ფუძე და მწვერვალი (ან წვერი). კონუსის მხარე შეუფერხებლად წკუპდება მწვერვალზე. კონუსი პირამიდის მსგავსია, მაგრამ მკაფიოა, რადგან კონუსს აქვს ერთი მრუდი მხარე და წრიული ფუძე.
სფერო ტორუსი
სფერო ტორუსი
ბურთი ან გლობუსივით ფორმის სფერო მთლიანად მრგვალი ობიექტია. სფეროს ზედაპირის ყველა წერტილი ტოლი მანძილია სფეროს ცენტრისაგან. ბეჭდის, საბურავის ან დონატის მსგავსად, რეგულარული ბეჭედი ტორი წარმოიქმნება უფრო მცირე წრის გარშემო უფრო დიდი წრის გარშემო. ასევე არსებობს ორის უფრო რთული ფორმა.

Ზედაპირის ფართობი

ჩვენი გვერდი ჩართულია გამოთვლის ფართობი განმარტავს, თუ როგორ უნდა შეიმუშაოს ორგანზომილებიანი ფორმების ფართობი და თქვენ უნდა გესმოდეთ ეს საფუძვლები, რათა გაანგარიშოთ სამგანზომილებიანი ფორმების ზედაპირის ფართობი.

სამგანზომილებიანი ფორმისთვის ჩვენ ვსაუბრობთ ზედაპირის ფართობი , დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად.

თქვენი ცოდნა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ორგანზომილებიანი ფორმის არეალის შესახებ, სამგანზომილებიანი ფორმის ზედაპირის გამოსათვლელად, რადგან თითოეული სახე ან მხარე ეფექტურად ორგანზომილებიანი ფორმისაა.

თქვენ ამუშავებთ თითოეული სახის არეს და შემდეგ დაამატეთ ისინი ერთად.



ბრტყელი ფორმების მსგავსად, მყარი ზედაპირის ფართობი გამოხატულია კვადრატული ერთეულით: სმორი, ინჩებიორი, მორიდა ასე შემდეგ. გაზომვის ერთეულების შესახებ დამატებითი ინფორმაცია შეგიძლიათ იხილოთ ჩვენს გვერდზე გაზომვის სისტემები .

ზედაპირის გამოთვლის მაგალითები

კუბის ზედაპირის ფართობი

კუბი

კუბის ზედაპირი არის ერთი სახის ფართობი (სიგრძე x სიგანე) გამრავლებული 6-ზე, რადგან ექვსივე სახე ერთნაირია.

რადგან კუბის სახე არის კვადრატი, თქვენ მხოლოდ ერთი გაზომვა გჭირდებათ - კვადრატის სიგრძე და სიგანე, განსაზღვრებით, იგივეა.

ამ კუბის ერთი სახე არის 10 × 10 სმ = 100 სმორი. გავამრავლოთ 6-ზე, კუბზე სახის რაოდენობა და ვხვდებით, რომ ამ კუბის ზედაპირის ფართობი 600 სმ-იაორი.

სხვა რეგულარული პოლიედრონები

ანალოგიურად, სხვა რეგულარული პოლიედრონების (პლატონური მყარი ნივთიერებების) ზედაპირის დამუშავება შესაძლებელია ერთი მხარის ფართობის პოვნით და შემდეგ პასუხის გამრავლებით გვერდების საერთო რაოდენობაზე - იხილეთ ძირითადი პოლიჰედრონების სქემა ზემოთ.

თუ დოდეკადრენის შემადგენელი ერთი ხუთკუთხედის ფართობია 22 სმორიშემდეგ გავამრავლოთ ეს გვერდების საერთო რაოდენობაზე (12), რომ პასუხი გასცეს 264 სმორი.


პირამიდა

გამოთვლა სტანდარტული პირამიდის ზედაპირი ოთხი ტოლი სამკუთხა გვერდებით და კვადრატული ფუძით:

ჯერ შეიმუშავეთ ფუძის (კვადრატის) სიგრძე × სიგანე.

შემდეგ შეიმუშავეთ ერთი მხარის ფართობი (სამკუთხედი). გაზომეთ სიგანე ძირის გასწვრივ, შემდეგ კი სამკუთხედის სიმაღლე (ასევე ცნობილია როგორც დახრილი სიგრძე) ფუძის ცენტრალური წერტილიდან მწვერვალზე.

ამის შემდეგ შეგიძლიათ ან გაყოთ პასუხი 2-ზე, რომ მოგცეთ ერთი სამკუთხედის ზედაპირის ფართობი და შემდეგ გამრავლეთ 4-ზე, რომ მიენიჭოთ ოთხივე მხარის ზედაპირი, ან უბრალოდ გავამრავლოთ ერთი სამკუთხედის ზედაპირი 2-ზე.

დაბოლოს დაამატეთ ძირისა და გვერდების ფართობი ერთად, რომ იპოვოთ პირამიდის მთლიანი ზედაპირი.

გამოთვლა სხვა ტიპის პირამიდის ზედაპირი, დაამატეთ ძირის ფართობი (ცნობილია როგორც ბაზის ფართობი) და გვერდების ფართობი (გვერდითი არე), შეიძლება დაგჭირდეთ გვერდების ინდივიდუალურად გაზომვა.

როგორ ვიპოვოთ სწავლის მოტივაცია

წმინდა დიაგრამები

გეომეტრიული ბადე არის ორგანზომილებიანი 'ნიმუში' სამგანზომილებიანი ობიექტისთვის. ქსელები შეიძლება სასარგებლო იყოს სამგანზომილებიანი ობიექტის ზედაპირის შემუშავებისას. ქვემოთ მოცემულ დიაგრამაზე შეგიძლიათ ნახოთ თუ როგორ არის აგებული ძირითადი პირამიდები, თუ პირამიდა 'გაშალა', თქვენ ბადე დარჩება.

პირამიდის ქსელები

დამატებითი ინფორმაცია ქსელის დიაგრამების შესახებ იხილეთ ჩვენს გვერდზე 3D ფორმები და ქსელები .


პრიზმის ზედაპირული არე

პრიზმა

გამოთვლა პრიზმის ზედაპირი :

პრიზმებს ორი ბოლო აქვს იგივე და ბრტყელი პარალელოგრამის გვერდები.

გამოთვალეთ ერთი ბოლოს ფართობი და გამრავლეთ 2-ზე.

რეგულარული პრიზმისთვის (სადაც ყველა მხარე ერთნაირია) გამოთვალეთ ერთ-ერთი გვერდის ფართობი და გამრავლეთ გვერდების საერთო რაოდენობაზე.

არარეგულარული პრიზმებისთვის (განსხვავებული მხარეებით) გამოთვალეთ თითოეული მხარის ფართობი.

დაამატეთ ორი პასუხი ერთად (მთავრდება × მხარეები), რომ იპოვოთ პრიზმის მთლიანი ზედაპირი.


ცილინდრი

ცილინდრის ზედაპირის ფართობი

მაგალითი:
რადიუსი = 5 სმ
სიმაღლე = 10 სმ

გამოთვლა ცილინდრის ზედაპირი სასარგებლოა ვიფიქროთ ფორმის შემადგენელ ნაწილებზე. წარმოიდგინეთ ტკბილეულის თუნუქი - მას აქვს ზედა და ქვედა მხარე, ორივე წრეა. თუ მხარეს სიგრძეზე მოჭრით და გაბრტყელდებით, მართკუთხედი გექნებათ. ამიტომ უნდა იპოვოთ ორი წრის და მართკუთხედის ფართობი.

ჯერ შეიმუშავეთ რომელიმე წრის არე.

წრის ფართობი π (pi) რადიუსიაორი.

5 სმ რადიუსის გათვალისწინებით, ერთ-ერთი წრის ფართობი 3,14 × 5-იაორი= 78,5 სმორი.

გავამრავლოთ პასუხი 2-ზე, რადგან არსებობს ორი წრე 157 სმორი

ცილინდრის გვერდის ფართობი არის წრის პერიმეტრი × ცილინდრის სიმაღლე.

პერიმეტრი ტოლია π x 2 რადიუსს. ჩვენს მაგალითში, 3.14 × 2 × 5 = 31.4

გაზომეთ ცილინდრის სიმაღლე - ამ მაგალითისთვის სიმაღლეა 10 სმ. გვერდის ზედაპირია 31,4 × 10 = 314 სმორი.

როგორ უნდა იყოს ქარიზმატული ადამიანი

მთლიანი ზედაპირის პოვნა შესაძლებელია წრეების არეალის და გვერდის ერთად დამატებაში:

157 + 314 = 471 სმორი


გამოთვალეთ კონუსის ზედაპირი.

მაგალითი:
რადიუსი = 5 სმ
დახრის სიგრძე = 10 სმ

კონუსი

გაანგარიშებისას კონუსის ზედაპირი თქვენ უნდა გამოიყენოთ 'დახრის' სიგრძე და ფუძის რადიუსი.

ამასთან, შედარებით მარტივია გამოთვლა:

წრის ფართობი კონუსის ძირში არის π (pi) × რადიუსიორი.

ამ მაგალითში ჯამი არის 3,14 5ორი= 3,14 × 25 = 78,5 სმორი

მხარის ფართობი, დახრილი განყოფილება შეგიძლიათ იხილოთ ამ ფორმულის გამოყენებით:

π (pi) × რადიუსი × დახრილობის სიგრძე.

ჩვენს მაგალითში ჯამი არის 3,14 × 5 × 10 = 157 სმორი.

დაბოლოს დაამატეთ ფუძის არე გვერდით არეზე, რომ მიიღოთ კონუსის მთლიანი ზედაპირი.

78,5 + 157 = 235,5 სმორი


გამოთვალეთ სფეროს ფართობი.

Ჩოგბურთის ბურთი:
დიამეტრი = 2.6 ინჩი

სფერო

სფეროს ფართობი არის ფორმულის შედარებით მარტივი გაფართოება წრის არეალისთვის.

4 × π × რადიუსიორი.

სფეროსთვის ხშირად უფრო ადვილია დიამეტრის გაზომვა - მანძილი სფეროზე. ამის შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ რადიუსი, რომელიც დიამეტრის ნახევარია.

სტანდარტული ჩოგბურთის ბურთის დიამეტრია 2.6 ინჩი. რადიუსი არის 1,3 ინჩი. ფორმულისთვის ჩვენ გვჭირდება რადიუსი კვადრატში. 1.3 × 1.3 = 1.69.

ამიტომ ჩოგბურთის ბურთის ზედაპირია:

4 × 3.14 × 1.69 = 21.2264 ინჩიორი.


გამოთვალეთ ტორის ზედაპირის ფართობი.

მაგალითი:
R (დიდი რადიუსი) = 20 სმ
r (მცირე რადიუსი) = 4 სმ

ტორუსი

გამოთვლის მიზნით ტორუსის ზედაპირი თქვენ უნდა იპოვოთ ორი რადიუსის მნიშვნელობა.

დიდი ან ძირითადი რადიუსი (R) იზომება ხვრელის შუადან ბეჭდის შუა ნაწილამდე.

მცირე ან მცირე რადიუსი (r) იზომება ბეჭდის შუა მხრიდან გარე კიდეზე.

დიაგრამაზე ნაჩვენებია ტორუსის მაგალითის ორი ხედვა და მისი რადიუსების (ან რადიუსების) გაზომვა.

გაანგარიშება, რომ იპოვოთ ზედაპირის ფართობი ორ ნაწილად არის განლაგებული (თითო თითოეული რადიუსისთვის). გაანგარიშება იგივეა თითოეული ნაწილისთვის.

ფორმულაა: ზედაპირის ფართობი = (2πR) (2πr)

მაგალითად torus- ის ზედაპირის შემუშავება.

(2 × π × R) = (2 × 3,14 × 20) = 125,6

(2 × π × r) = (2 × 3,14 × 4) = 25,12

გავამრავლოთ ორი პასუხი ერთად, რომ ვიპოვოთ მაგალითად ტორუსის მთლიანი ზედაპირი.

125,6 × 25,12 = 3155,072 სმორი.


შევსება მყარი: მოცულობა

სამგანზომილებიანი ფორმებით შეიძლება ასევე უნდა იცოდეთ რამდენი მოცულობა მათ აქვთ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ისინი წყლით ან ჰაერით შეავსეთ, რამდენი შევსება დაგჭირდებათ?

ეს დაფარულია ჩვენს გვერდზე მოცულობის გაანგარიშება .

Გაგრძელება:
გამოთვლის ფართობი
3D ფორმები და ქსელები