ტრიგონომეტრიის შესავალი

Იხილეთ ასევე: გეომეტრია შესავალი

ტრიგონომეტრია, როგორც სახელი გვთავაზობს, ყველაფერი არის სამკუთხედები.

უფრო კონკრეტულად, ტრიგონომეტრია არის მართკუთხა სამკუთხედების შესახებ, სადაც ერთ-ერთი შიდა კუთხე 90 ° -ია. ტრიგონომეტრია არის სისტემა, რომელიც გვეხმარება სამკუთხედში დაკარგული ან უცნობი გვერდის სიგრძეების ან კუთხეების შემუშავებაში.

ჩვენს გვერდზე მეტია სამკუთხედების შესახებ მრავალკუთხედები უნდა დაგჭირდეთ საფუძვლების გახეხვა, სანამ აქ უფრო წაიკითხავთ.



მართკუთხა სამკუთხედები: შეხსენება

მართკუთხა სამკუთხედს აქვს ერთი მართკუთხა. განმარტებით, ეს ნიშნავს, რომ ყველა მხარე არ შეიძლება იყოს იგივე სიგრძე. ქვემოთ მოცემულია ტიპიური მართკუთხა სამკუთხედი.

მნიშვნელოვანი ტერმინები მართკუთხა სამკუთხედებისთვის


მართკუთხა სამკუთხედი გვიჩვენებს მოპირდაპირე, მომიჯნავე და ჰიპოტენუზა
  • მართი კუთხე მითითებულია კუთხის პატარა ყუთით.



  • სხვა კუთხე, რომელიც ჩვენ (ჩვეულებრივ) ვიცით, მითითებულია θ (თეტა) .

  • მარჯვენა კუთხის მოპირდაპირე მხარეს, რომელიც გრძელი მხარეა, ეწოდება ჰიპოტენუზა .

  • Θ საპირისპირო მხარეს ეწოდება საწინააღმდეგო .



  • Θ – ის გვერდით მხარეს, რომელიც არ არის ჰიპოტენუზა, ეწოდება მიმდებარე .

პითაგორას თეორემა ტრიგონომეტრიის წინააღმდეგ


პითაგორა იყო ბერძენი ფილოსოფოსი, რომელიც 2500 წლის წინ ცხოვრობდა. მას მიეკუთვნება მრავალი მნიშვნელოვანი მათემატიკური და სამეცნიერო აღმოჩენა, რომელთაგან ყველაზე მნიშვნელოვანი გახდა პითაგორას თეორემის სახელით.

ეს მნიშვნელოვანი წესია მხოლოდ მართკუთხა სამკუთხედებისკენ . მასში ნათქვამია 'ჰიპოტენუზაზე არსებული კვადრატი ტოლია კვადრატების ჯამი დანარჩენი ორი მხრიდან.'

ეს საკმაოდ რთულად ჟღერს, მაგრამ სინამდვილეში საკმაოდ მარტივი კონცეფციაა, როდესაც ამას დიაგრამაზე ვხედავთ:

ფორმა 4 არათანაბარი გვერდებით
პითაგორა

პითაგორას თეორემა ამბობს:

რომორი+ ბორი= გორი

ასე რომ, თუ ვიცით სამკუთხედის ორი გვერდის სიგრძე და უნდა გამოვთვალოთ მესამე, შეგვიძლია გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა.

ამასთან, თუ ვიცით მხოლოდ ერთი გვერდის სიგრძე და ერთი შიდა კუთხე, მაშინ პითაგორა თავისთავად არაფერს გვარგებს და ტრიგონომეტრია უნდა გამოვიყენოთ.


წარმოგიდგენთ სინუსს, კოსინუსს და ტანგანს

ტრიგონომეტრიაში სამი ძირითადი ფუნქციაა, რომელთაგან თითოეული მართკუთხა სამკუთხედის ერთი მხარეა გაყოფილი მეორეზე.

სამი ფუნქციაა:

სახელი შემოკლებით ურთიერთობა სამკუთხედის გვერდებთან
სინუსი გარეშე ცოდვა (θ) = მოპირდაპირე / ჰიპოტენუზა
კოსინუსი რაღაც Cos (θ) = მიმდებარე / ჰიპოტენუზა
ტანგენსი Ისე თან (θ) = მოპირდაპირე / მომიჯნავე


სინუსის, კოსინუსის და ტანგესის გაანგარიშება

შეიძლება თქვენთვის სასარგებლო აღმოჩნდეს სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი, როგორც SOH CAH TOA.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დამახსოვრება შეიძლება რთული და დამაბნეველი იყოს. SOH CAH TOA კი შეიძლება რთული იყოს. შეგიძლიათ სცადოთ შექმენით მხიარული მენომენია, რომ გახსოვდეთ. უბრალოდ შეინახეთ სამი ასოდან თითოეული ჯგუფი იმავე თანმიმდევრობით.



მაგალითად, TOA SOH CAH შეიძლება იყოს ' ის ან ლდ რომ არქეოლოგი საათზე ან არის შვრიის რომ მეორე ზე ’.

საუკეთესო რჩევა!


მათ შორის ურთიერთობის გამო, Tan θ ასევე შეიძლება გამოითვალოს, როგორც:
ცოდვა θ / Cos θ.

Ეს ნიშნავს რომ:

  • ცოდვა θ = Cos θ × თან θ და
  • Cos θ = Sin θ / Tan θ.

ტრიგონომეტრია წრეში

წრეების შესახებ ან სწრაფი განახლების შესახებ იხილეთ ჩვენს გვერდზე წრეები და მრუდი ფორმები .

სამკუთხედების განხილვისას, ჩვენ შემოვიფარგლებით 90 ° -ზე ნაკლები კუთხით. ამასთან, ტრიგონომეტრია თანაბრად გამოიყენება ყველა კუთხისთვის, 0-დან 360 ° -მდე. იმის გასაგებად, თუ როგორ მუშაობს ტრიგონომეტრიული ფუნქციები 90 ° -ზე მეტი კუთხით, სასარგებლოა ვიფიქროთ წრეზე აგებულ სამკუთხედებზე.

წრის კარტეზიული კოორდინატები.



განვიხილოთ წრე, დაყოფილი ოთხ ოთხ კვადრატად.

პირობითად, წრის ცენტრი განიხილება როგორც (0, 0) კარტესიანული კოორდინატი. ეს არის x მნიშვნელობა 0 და y მნიშვნელობა 0. ამის შესახებ დამატებითი ინფორმაცია იხილეთ ჩვენს გვერდზე კარტეზიული კოორდინატები .

ცენტრის მარცხნივ მდებარე ყველაფერს x მნიშვნელობა აქვს 0-ზე ნაკლები , ან არის უარყოფითი, მაშინ როდესაც რაიმე მარჯვნივ აქვს დადებითი მნიშვნელობა.

ანალოგიურად, ცენტრალური წერტილის ქვემოთ ნებისმიერი მნიშვნელობა y- ზე ნაკლებია 0-ზე , ან არის უარყოფითი და წრის ზედა ნაწილში ნებისმიერ წერტილს აქვს y პოზიტიური მნიშვნელობა.

აქვს პოლიგონებს მეტი მხარე ან კუთხე

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მქონე წრის გამოყენება 90 ° -ზე მეტი კუთხისთვის.

დიაგრამა მე გვიჩვენებს, თუ რა მოხდება, თუ წრის ცენტრიდან მარჯვნივ x ღერძის გასწვრივ გავამახვილებთ რადიუსს (ვამბობთ, რომ ეს არის პოზიტიური მიმართულებით).

ამის შემდეგ ჩვენ რადიუსს ვატრიალებთ საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით θ – ის კუთხის გავლით. ეს ქმნის მართკუთხა სამკუთხედს.

Θ = გარეშე მოპირდაპირე (წითელი ხაზი)
ჰიპოტენუზა (ლურჯი ხაზი)

Cos θ = მიმდებარე (მწვანე ხაზი)
ჰიპოტენუზა (ლურჯი ხაზი)

შიგნით დიაგრამა yl , ჩვენ რადიუსი შევტრიალეთ საათის საწინააღმდეგო მიმართულებით, ვერტიკალური (y ​​ღერძით) შემდეგ მეოთხედში. აქ θ არის ბლაგვი კუთხე, 90 ° და 180 ° შორის. მიმართვის კუთხე alpha α უდრის 180 ° - θ და არის მწვავე კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში.

ცოდვა θ = ცოდვა α = მოპირდაპირე (წითელი ხაზი)
ჰიპოტენუზა (ლურჯი ხაზი)

ლურჯი და წითელი ხაზები დადებითია, ამიტომ ცოდვა θ არის დადებითი.

Cos θ = osCos α = მიმდებარე (მწვანე ხაზი)
ჰიპოტენუზა (ლურჯი ხაზი)

Cos θ არის უარყოფითი, რადგან მწვანე ხაზი არის უარყოფითი (ის მდებარეობს x ღერძის გასწვრივ წარმოშობის მარცხნივ (0,0), ასევე არის x ღერძის უარყოფითი მონაკვეთი).

შიგნით დიაგრამა III , რადიუსი შემობრუნდა საათის ისრის მიმართულებით მომდევნო კვადრატში ისე, რომ θ- ის ღირებულება 180 ° და 270 ° შორისაა. მწვანე, წითელი და ლურჯი ხაზები ყველას აქვს უარყოფითი მნიშვნელობები და α = θ - 180 °. სინუსები და კოსინუსები, შესაბამისად, დადებითია.

დიაგრამა ივ გვიჩვენებს ბოლო კვადრატს. Θ- ის მნიშვნელობა 270 ° და 360 ° შორისაა, მწვანე ხაზი დადებითია, მაგრამ წითელი და ლურჯი ხაზები უარყოფითია. ამიტომ ცოდვა θ არის დადებითი, ხოლო Cos θ არის უარყოფითი. α = 360 ° - θ.


ერთეულის წრე

'ერთეულის წრე' ზემოთ მოცემულ დიაგრამებზე ნაჩვენებია წრის განსაკუთრებული შემთხვევა. ერთეული წრეში არის 1 რადიუსი.

ერთეულ წრეზე მუშაობისას შეგვიძლია პირდაპირ გავზომოთ cos, sin და tan:

სინუსი, კოსინუსი და ტანგენცია - ერთეულის წრე

სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის გრაფიკები

დამოკიდებულება კუთხესა და ცოდვას ან კოსმოსს შორის შეიძლება გრაფიკის სახით იყოს გამოსახული:

  • y = ცოდვა (θ)
  • y = cos (θ)
სინუსი, კოსინოს გრაფიკი. www.skillsyouneed.com/num/trigonometry.html

თქვენ ხედავთ, რომ როდესაც θ არის 0, მაშინ სინუსიც არის. ამას აქვს აზრი, როდესაც ზემოთ მოცემული ერთეულის წრის დიაგრამას დაათვალიერებთ. როდესაც θ = 0, მიმდებარე და ჰიპოტენუზა მდგომარეობს პოზიტიური x ღერძის გასწვრივ და ქრება წითელი ხაზი, რომელიც აჩვენებს ცოდვის θ მნიშვნელობას (არ არსებობს სამკუთხედი).

კოსინუსუსის გრაფი სინუსის იგივე ფორმაა, მაგრამ მნიშვნელობა აქვს 1-ს, როდესაც θ = 0. ისევ გადავხედავთ წრეს, როდესაც θ = 0, მიმდებარე და ჰიპოტენუზა მდგომარეობს პოზიტიური x ღერძის გასწვრივ და აქვს იგივე მნიშვნელობა, ასე რომ მიმდებარე / ჰიპოტენუზა = 1.

სინუსური და კოსინუსური გრაფიკების ციკლური ბუნება ძალზე მნიშვნელოვანია მთელ მეცნიერებაში, ბუნებასა და ინჟინერიაში. მაგალითებში შედის ელექტრული პროგრამები (ალტერნატიული მიმდინარეობა), ხმოვანი და რადიოტალღები, მარტივი ჰარმონიული მოძრაობა (მაგალითად, საქანელა), თანამგზავრების ტრაექტორია ან ტალღის ზრდა და დაცემა.

დიაპაზონი ციკლური ტალღის ნიმუში არის გრაფიკში 'პიკის' მნიშვნელობა, ანუ მანძილი x ღერძიდან მაქსიმალურ ან მინიმალურ მნიშვნელობამდე. სინუსის და კოსინუსის გრაფიკებში ზემოთ, ამპლიტუდას აქვს მნიშვნელობა 1. პროგრამებში, როგორიცაა ხმოვანი ან ელექტრული დენი, ამპლიტუდა იცვლება, რაც დამოკიდებულია ხმის მოცულობაზე ან დენის სიდიდეზე. ტალღების ამპლიტუდა ასევე განსხვავდება, რაც დამოკიდებულია მთვარის პოზიციაზე და მის 'მიზიდვაზე' დედამიწაზე.

Tangent გრაფის (tan θ) მახასიათებლები საკმაოდ განსხვავებულია. Tangent გრაფიკს არ აქვს დიაპაზონი (ტალღის მსგავსი მახასიათებლები), რადგან მას არ აქვს მაქსიმალური ან მინიმალური პიკური მნიშვნელობები. ის იცვლება −∞ – დან + ∞ – მდე (უარყოფითი და დადებითი უსასრულობა), გადაკვეთა 0 – ით 180 ° –ზე.

ტანგენტური ხაზების გრაფიკი.

უსასრულობის დროს (დადებითი ან უარყოფითი) ნათქვამია განუსაზღვრელი. ამ გრაფიკის უკეთ გაგება შეგვიძლია, როდესაც განვიხილავთ თან θ = sin sin / cos θ განტოლებას. ყოველთვის, როდესაც ცოდვა θ არის ნულოვანი, მაშინ თან θ უნდა იყოს ნულოვანიც. პირიქით, ყოველთვის, როდესაც cos θ ნულოვანია, მაშინ განტოლებაში მნიშვნელი ხდება ნული. ნულზე გაყოფილი ნებისმიერი რამ აქვს უსასრულობის მნიშვნელობას, ამიტომ θ- ის მნიშვნელობებს, რომლებსაც აქვთ ნულოვანი კოსინუსი, ასევე გრაფიკზე აქვთ უსასრულობის ტანგესი. უსასრულობას არ აქვს ზუსტი მნიშვნელობა, ამიტომ ტანგენტ გრაფიკზე ხაზები უფრო და უფრო ვერტიკალური ხდება, რადგან y ღერძი იზრდება უფრო და უფრო დიდ მნიშვნელობებზე. ხაზები უფრო და უფრო უახლოვდება ვერტიკალურ ხაზებს გრაფიკზე θ – ის განსაკუთრებული მნიშვნელობებისთვის, მაგალითად 90 ° –ზე. თითოეულ ამ ვერტიკალურ ხაზს ეწოდება an ასიმპტოტი .

სინუსის, კოსინუსის და ტანგესის უკუპროსი

ასევე შეგიძლიათ შეიმუშაოთ ცოდვის, cos და tan- ის შებრუნებული ფუნქცია, რაც ნიშნავს 1-ს დაყოფით ამ ფუნქციაზე. ისინი დანიშნულია როგორც sin / cos / tan -1. ეს საშუალებას გაძლევთ შეიმუშაოთ კუთხე, თუ გაქვთ ცოდვა, ცოდვა ან გარუჯვა.

Სხვა სიტყვებით:

6 ცალმხრივი მრავალკუთხედის ფართობი
  • ცოდვა (90) = 1
  • ცოდვა - 1 (1) = 90 °

ტრიგონომეტრია და კალკულატორები


სამეცნიერო კალკულატორებს აქვთ ცოდვის, კოსმოსური და რუჯის ფუნქციები, ასევე უკუპროცესი ფუნქციები. რამდენიმე წუთის დახარჯვა გჭირდებათ იმის გასარკვევად, თუ როგორ მუშაობს თქვენი კალკულატორი, რადგან ამით შეგიძლიათ დაზოგოთ საათები, როცა დაგჭირდებათ.


სხვა სამკუთხედები და ტრიგონომეტრია

ტრიგონომეტრია ასევე მუშაობს სხვა სამკუთხედებისათვის, ისევე როგორც არც ისე. ამის ნაცვლად არსებობს ორი წესი, რომლებიც დაფუძნებულია სამკუთხედზე, როგორიცაა:

სამკუთხედები ტრიგონომეტრიაში

სინუსის წესია:

რომ/გარეშე ა=/გარეშე B=/გარეშე C

კოსინუსის წესი არის:

ორი= აორი+ ბორი- 2ab cos (C)


რატომ მჭირდება ტრიგონომეტრია?

ეს გონივრული კითხვაა და პასუხი ნაწილობრივ მაინც იმიტომ არის, რომ მათ, ვინც ბევრ ქვეყანაში გადაწყვეტს მათემატიკის სასწავლო გეგმას, თვლიან, რომ ამის შესახებ უნდა იცოდეთ და ეს ძალიან კარგი მიზეზების გამო.

ნათქვამია, რომ ტრიგონომეტრია ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკური კავშირია, რომელიც ოდესმე აღმოაჩინეს. სამკუთხედები ერთ – ერთი ყველაზე მარტივი ფორმაა, რომელიც ბუნებაში გვხვდება, მაგრამ მათ მათემატიკას სასიცოცხლო მნიშვნელობა აქვს, განსაკუთრებით იქ, სადაც საჭიროა მანძილების ზუსტი გაზომვები. როდესაც ვიწყებთ ვიფიქროთ იმ პროგრამებზე, სადაც ზუსტი მანძილი მნიშვნელოვანია, აშკარაა, რომ ათეული არსებობს, მათ შორის ნავიგაცია საზღვაო და საავიაციო სისტემებში, ასტრონომია, სატელიტური სისტემები, გეოგრაფიული კვლევები და კარტოგრაფია (რუქები), არქიტექტურა და სტრუქტურული ინჟინერია, გრაფიკული დიზაინი და კომპიუტერში წარმოქმნილი გამოსახულებები.

ამათგან ბევრი გაზომვის ტექნიკას ეყრდნობა, რომელსაც ეწოდება სამკუთხა , რომელიც იყენებს ტრიგონომეტრიის ცნებებს.

როგორ უნდა დადგინდეს პროცენტული შემცირება

მაგალითი: ტრიგონომეტრია და ნავიგაცია

როდესაც ზღვაზე მიდიხართ ან კრუიზდებით, სადაც გავლენას ახდენთ:

  • მიმართულება, რომელშიც მიჰყავთ;
  • სიჩქარე, რომლითაც ამ მიმართულებით იმოძრავებთ (მაგ. ძრავის ან ქარის სიჩქარე); და
  • ტალღის მიმართულება და სიჩქარე.

შეიძლება ერთი მიმართულებით იმოძრაოთ, მაგრამ ტალღა შეიძლება ერთი მხრიდან მოდიოდეს და მეორეზე გიბიძგოთ. თქვენ დაგჭირდებათ ტრიგონომეტრია იმის გასარკვევად, თუ რამდენად შორს იმოგზაურებთ და რა ზუსტი მიმართულებით.

სამგზავრო მიმართულების შემუშავება ტრიგონომეტრიის გამოყენებით.

თქვენ სწორად შეიმუშავეთ, რომ ეს არც ისე მარტივია, როგორც ეს, რადგან მოგზაურობის რეალური მიმართულება დამოკიდებულია ტალღის სიჩქარეზე და თქვენს სიჩქარეზე, მაგრამ ალბათ ხედავთ, რატომ შეიძლება იყოს მნიშვნელოვანი ტრიგონომეტრია!


ნამუშევარი მაგალითი

თქვენ ერთდღიანი ნაოსნობისთვის ხართ და ნამდვილად არ გეწყინებათ, სად აღმოჩნდებით. თქვენ გაემგზავრეთ აღმოსავლეთისკენ და აპირებთ 10 საათის კრუიზის სიჩქარით ერთი საათის გასვლას. ტალღა ჩრდილოეთისკენ მიდის და 5 კმ / სთ სიჩქარით მიდის. რა მიმართულებით დასრულდება მოგზაურობა?

  1. პირველი დახაზეთ თქვენი სამკუთხედი , და ეტიკეტირება მხარეებს. თქვენ მიემართებით აღმოსავლეთისკენ, მოდით გავაკეთოთ სამკუთხედის ქვედა სიგრძე 10 კმ. ტალღა ჩრდილოეთისკენ გიბიძგებს, მოდით გავაკეთოთ ეს მარჯვენა მხარე. და თქვენ გსურთ იცოდეთ რა მიმართულებით მიდიხართ, ასე რომ, ეს არის კუთხე θ.

    ტრიგონომეტრიის მაგალითი
  2. თქვენ გაქვთ საპირისპირო და მომიჯნავე, რაც ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ტანგენსი. თან θ = მოპირდაპირე / მომიჯნავე = 5/10 = 0,5.

  3. ახლა დროა გამოიყენოთ ინვერსიული რუჯის ფუნქცია. ინვერსიული ტანი 0.5 არის 26.6 °. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თან 26.6 = 0.5.

  4. Კომპასი მიმართულება (თქვენი 'სათაური' ნავიგაციაში) იზომება ჩრდილოეთიდან , რაც თქვენს კომპასზე 0 ° -ია. თქვენი პასუხი (3) –სგან იზომება 90 ° –ით, ან აღმოსავლეთით. თქვენ უნდა გამოაკლოთ პასუხი 90 ° –დან, პასუხის მისაღებად: თქვენ მიდიხართ 63,4 ° მიმართულებით (სათაურით), რომელიც მდებარეობს ჩრდილო – აღმოსავლეთთან (45 °) და აღმოსავლეთ ჩრდილო – აღმოსავლეთთან (67,5 °).

რატომ არის ეს მნიშვნელოვანი? თქვენ უნდა იცოდეთ, რომელი მიმართულებით გაემგზავრეთ, რა თქმა უნდა, სახლში გასასვლელად!

რეალურ ცხოვრებაში, თქვენ ასევე უნდა გახსოვდეთ, რომ იმ დროისთვის ტალღა შეიძლება შეიცვალოს


დასკვნა

ტრიგონომეტრიას შეიძლება არც ისე ბევრი ყოველდღიური პროგრამა ჰქონდეს, მაგრამ ის დაგეხმარებათ სამკუთხედებთან უფრო მარტივად მუშაობაში. ეს სასარგებლო დამატებაა გეომეტრიისა და ფაქტობრივი გაზომვებისთვის, და, შესაბამისად, ღირს საფუძვლების გაგება, მაშინაც კი, თუ არასდროს მოისურვებთ შემდგომი პროგრესის მიღწევას.

Გაგრძელება:
გეომეტრია
შესავალი ალგებრაში